2019 年开始记账，到 2020 年发现了一件事：每个月工资到账后留在活期账户里的钱，到了月底莫名其妙就花掉了。不是买了大件，就是这里刷一下那里刷一下，不知不觉就没了。
后来开了一个单独的定期理财账户，每个月工资到账先转一笔进去。当时年化大概是 4% 出头。一年后我算了算，发现利息收入快赶上我一个月的生活费了。
这就是复利的力量。当然，4% 不算高，但关键是这个操作让我开始认真研究复利到底是怎么工作的。
复利公式其实很简单
复利的公式很简洁：
A = P(1 + r)^n
A 是最终金额，P 是本金，r 是每期利率，n 是期数。
如果你存 10 万元，年化 10%，30 年后变成多少钱？代入计算：
A = 100,000 × (1 + 0.1)^30 = 100,000 × 17.45 = 1,745,000
10 万变 174.5 万。加个零。
但如果你只看前 5 年呢？10 万只变成 16.1 万。收益看起来不怎么样。大部分人就是倒在这个阶段——前期收益不起眼，坚持不下去。
下图展示的是复利和单利的对比。单利是直线增长，复利是指数增长。两条线在前几年几乎重合，看不出区别。但过了第 15 年，复利曲线开始急速上扬。再过 10 年，差距已经是数量级级别的了。
72 法则，心算你的钱多久翻倍
复利的计算需要指数运算，口算不出来。但有个近似公式可以用心算：72 法则。
用 72 除以年化收益率（百分比），结果就是你的本金翻倍需要的年数。
- 年化 4%：72 ÷ 4 = 18 年
- 年化 8%：72 ÷ 8 = 9 年
- 年化 12%：72 ÷ 12 = 6 年
- 年化 24%（信用卡分期实际利率）：72 ÷ 24 = 3 年
反过来也能用。你想 5 年翻倍，72 ÷ 5 = 14.4，所以需要大约 14.4% 的年化收益率。
72 法则来自对数运算的近似：ln(2) ≈ 0.693，乘以 100 是 69.3，但用 72 是因为 72 的因数多（容易被 2、3、4、6、8、9 整除），而且对于 5-12% 这个常用区间，72 比 69.3 的近似效果更好。
当然，这不是精确计算。想精确的话还是用公式 t = ln(2) / ln(1 + r)。
名义利率 vs APY，被隐藏的真实收益
理财产品的宣传广告经常玩一个文字游戏。它们会说"年化利率 10%"，但如果这个 10% 是"名义利率"而实际每月复利一次，那你的真实收益率（APY，Annual Percentage Yield）实际上是 10.47%。
多出来的 0.47% 就是复利频率产生的差异。
APY 的公式：
APY = (1 + r/n)^n - 1
r 是名义年利率，n 是每年复利次数。
如果 n 趋于无穷大（连续复利），公式变成 APY = e^r - 1。
连续复利在金融理论中很重要（比如期权定价的 Black-Scholes 模型），但在实际理财产品中不常见。真能让你享受连续复利的产品几乎没有。
比如：某银行的理财产品标着"年化 8%"，但它是每季度付息一次而且是单利。也就是说你每季度拿到 2% 的利息，如果你不把利息再投进去，你的实际年化就是 8%。但如果你每季度把利息转存再投资，年化大约是 8.24%。差别不大，但对于大额资金来说，这个差距也不小。
但更常见的情况是：理财产品标的是"预期年化"，但实际付息方式是到期一次性还本付息。这种其实就是单利，中间产生的利息你没法再投资。所以同样的标注利率，到期付息比每月付息的实际收益低。
IRR 和 XIRR，真实的投资收益率
复利的另一个问题是：如果我不是一次性投入，而是每个月定投呢？这时候简单的复利公式就不适用了，因为每一笔钱的投资时间不同。
这时需要用 IRR（内部收益率）或者 XIRR（扩展内部收益率）。
IRR 是把所有现金流（投入和取出）按时间折现，找到让净现值等于 0 的折现率。简单说：IRR 就是你在这个投资上的"真实年化收益率"。
IRR 和复利的关系是：复利假设你一次性投入，到期一次性取出。IRR 允许你分批投、分批取、中间有各种不规则的现金流。但它们的数学本质是一样的——都是时间和利率的指数关系。
做基金定投的时候用 XIRR 算过一下：从 2019 年开始每月定投 5000 元，到 2024 年总投入 30 万，账户余额 42 万。简单算一下收益率是 40%——但这是 5 年的总收益，不是年化。算 XIRR 之后发现年化大约是 7.2%，而不是简单除出来的 8%。
差异来源于：最早投入的 5000 元已经跑了 5 年，但最后一笔 5000 元可能只跑了 1 个月。简单收益率忽略了资金的时间价值。
大部分基金平台的"年化收益"显示用的是 XIRR 或者类似的时间加权收益率，但有些平台的"累计收益"只是简单的（终值-本金）/本金。看的时候要区分清楚。
一个信用卡分期的反向复利
信用卡分期的利率是另一个需要警惕的东西。
假设你分期 12,000 元，分 12 期，月手续费 0.6%。银行告诉你年化利率是 0.6% × 12 = 7.2%。听起来不高对吧？
但实际不是这样的。每期你都在还本金，所以第 1 个月你占用 12,000 元，第 2 个月只有 11,000 元，第 3 个月只有 10,000 元……最后一个月你只欠 1,000 元，但手续费还是按 12,000 元算的。
用 IRR 算一下，这笔分期的真实年化利率大约是 13.3%——几乎是银行宣称的 7.2% 的两倍。
这就是"复利的反面"：如果你欠钱，复利会让你的债务膨胀得比你想象的快。
有些网贷平台的日利率标着 0.05%，看起来很少。但年化是 0.05% × 365 = 18.25%，而且很多是按日计息（也就是日复利）。APY 算下来是 (1 + 0.0005)^365 - 1 = 20% 左右。
复利计算器怎么用
实际做理财规划时，我一般用复利计算器来估算不同场景下的收益。影响最终结果的变量有几个：
本金。 不用说了，基数越大终值越大。
年化收益率。 这是最敏感的变量。收益率差 2%（8% vs 10%），30 年后终值差了接近一倍。所以相比纠结哪家银行的利率高 0.2%，不如把精力放在提高收益率上——但高收益意味着高风险，这是另一回事。
投资期限。 时间越长复利效应越明显。但也不要走极端——30 年的投资计划变数太多了，谁能保证 30 年每年都 10% 的收益？
每月定投。 如果你能做到每月固定投入，效果比一次性投入更平滑。熊市时多买份额，牛市时少买，这叫定投的"平均成本效应"。
如果你想实际算一算自己的情况，也可用在线的复利计算器，对于定投模式、自定义复利频率和期限，比手动算 Excel 方便很多。
写在最后
复利不是什么神秘的东西，就是指数函数在金融中的应用。它的力量不在数学上——数学很简单——而在于你能不能坚持足够长的时间让指数曲线真正翘起来。
大部分人做理财的问题是：太在意短期波动，忽视了长期复利的效果。但反过来，如果只看复利的魅力而忽略风险，又容易掉进高利贷或庞氏骗局的陷阱。
72 法则是我最常用的心算工具，用它估算翻倍时间比看那些复杂的理财图表有用得多。